포물선과 꺾인 직선 넓이

[출제의도] 정적분을 이용하여 넓이를 계산한다. $x < 0$일 때, 점 $\mathrm{A}$에서 두 함수 $y = ax ^{2} + 2$와 $y = \mathit{-} 2 x$의 그래프가 접하므로 $ax ^{2} + 2 = \mathit{-} 2 x$, 즉 $ax ^{2} + 2 x + 2 = 0$ $\cdots \cdots$　㉠ 이차방정식 ㉠의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 1 - 2 a = 0$ $\displaystyle a = \frac{1}{2}$이므로 접점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $- 2$이다. 점 $\mathrm{B}$는 점 $\mathrm{A}$와 $y$축에 대하여 대칭이므로 접점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $2$이다. 주어진 두 함수의 그래프가 모두 $y$축에 대하여 대칭이므로 구하는 넓이는 $\displaystyle 2 \times \int _{0} ^{2} {\left( \frac{1}{2} x ^{2} + 2 - 2 x \right) dx}$ $\displaystyle = 2 \times \left[ \frac{1}{6} x ^{3} + 2 x - x ^{2} \right] _{0} ^{2}$$\displaystyle = 2 \times \frac{4}{3}$$\displaystyle = \frac{8}{3}$