포물선과 준선에 접하는 원

[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 미지수를 구하는 문제를 해결한다. 원 $C$의 중심을 $\mathrm{A}$라 하자. 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{F}$에서 포물선의 준선 $x = \mathit{-} p$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{P}'$, $\mathrm{H}$라 하자. 직선 $\mathrm{FP}$가 준선 $x = \mathit{-} p$와 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자.

원 $C$의 반지름의 길이가 $3$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AA}'}}$$= 3$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}}$$= 3$ 직선 $l$의 기울기가 $\displaystyle - \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle \frac{{\overline{BA'}}}{{\overline{\mathrm{AA}'}}}$$\displaystyle = \frac{4}{3}$, 즉 $\displaystyle {{\overline{\mathrm{BA}'}}}$$= 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BA}}}$$= 5$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}}$$= 8$ 두 삼각형 $\mathrm{BA}' A$, $\mathrm{BP}' P$는 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' A}} : {\overline{\mathrm{P}' P}} = {\overline{\mathrm{BA}}} : {\overline{\mathrm{BP}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{P}' P}}$$\displaystyle = \frac{8 {\times} 3}{5}$$\displaystyle = \frac{24}{5}$ 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{P}' P}}$$\displaystyle = \frac{24}{5}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BA}}} + {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PF}}}$$\displaystyle = \frac{64}{5}$ 두 삼각형 $\mathrm{BA}' A$, $\mathrm{BHF}$는 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' A}} : {\overline{\mathrm{HF}}} = {\overline{\mathrm{BA}}} : {\overline{\mathrm{BF}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HF}}}$$\displaystyle = \frac{\frac{64}{5} \times 3}{5}$$\displaystyle = \frac{192}{25}$ $2 p$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{HF}}}$$\displaystyle = \frac{192}{25}$에서 $\displaystyle p = \frac{96}{25}$ 따라서 $25 p = 96$