포물선과 직선의 교점

[출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계 이해하기 이차함수 $y = ax ^{2}$($a > 0$)의 그래프와 직선 $y = x + 6$이 만나는 점의 $x$좌표는 $ax ^{2} = x + 6$에서 이차방정식 $ax ^{2} - x - 6 = 0$의 두 실근 $\alpha$, $\beta$($\alpha < \beta$)와 같으므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{1}{a}$, $\displaystyle \alpha \beta = \mathit{-} \frac{6}{a}$ 한편, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CA}}}$$= \beta - \alpha$이고 직선 $y = x + 6$의 기울기가 $1$이므로 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{{\overline{\mathrm{CA}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\beta - \alpha} = 1$에서 $\displaystyle \beta - \alpha = {\overline{\mathrm{BC}}}$$\displaystyle = \frac{7}{2}$ $\left( \beta - \alpha \right) ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta$이므로 $\displaystyle \left( \frac{7}{2} \right) ^{2} = \left( \frac{1}{a} \right) ^{2} - 4 \times \left( - \frac{6}{a} \right)$, $\displaystyle \left( \frac{1}{a} \right) ^{2} + \frac{24}{a} - \frac{49}{4} = 0$이므로 $49 a ^{2} - 96 a - 4 = 0$에서 $\left( 49 a + 2 \right) \left( a - 2 \right) = 0$ $a > 0$이므로 $a = 2$ 따라서 $\alpha ^{2} + \beta ^{2}$$= \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} - 2 \times \left( - \frac{6}{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{4} + 6 = \frac{25}{4}$이다.