공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선과 직선 넓이 차

문제

그림과 같이 이차함수 y=x2y = x ^{2}의 그래프와 직선 y=x+ky = x + k가 만나는 두 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하고, 점 A\mathrm{A}와 B\mathrm{B}에서 xx축에 내린 수선의 발을 각각 C\mathrm{C}, D\mathrm{D}라 하자. 삼각형 AOC\mathrm{AOC}의 넓이를 S1S _{1}, 삼각형 DOB\mathrm{DOB}의 넓이를 S2S _{2}라 할 때, S1−S2=20S _{1} - S _{2} = 20을 만족시키는 양수 kk의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이고, 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}는 각각 제11사분면과 제22사분면 위에 있다.) [4점]

y=x+ky = x + k y=x2y = x ^{2}

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13

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해설

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이용하여 문제 해결하기 A\mathrm{A}의 xx좌표를 α\alpha, B\mathrm{B}의 xx좌표를 β\beta라고 하자. α\alpha, β\beta는 x2−x−k=0x ^{2} - x - k = 0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 α+β=1\alpha + \beta = 1, αβ=−k\alpha \beta = - k이다. α>0\alpha > 0, β<0\beta < 0이므로 S1=12α3\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \alpha ^{3}, S2=−12β3\displaystyle S _{2} = - \frac{1}{2} \beta ^{3}이다. S1−S2=12(α3+β3)=20\displaystyle S _{1} - S _{2} = \frac{1}{2} ( \alpha ^{3} + \beta ^{3} ) = 20이고 α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)=40\alpha ^{3} + \beta ^{3} = ( \alpha + \beta ) ^{3} - 3 \alpha \beta ( \alpha + \beta ) = 40이다. α+β=1\alpha + \beta = 1에서 αβ=−13\alpha \beta = - 13이므로 k=13k = 13

태그

#근과 계수의 관계#곱셈공식

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