포물선과 직선 내분점

[출제의도] 근과 계수의 관계와 선분의 내분을 이용하여 상수를 구하는 문제를 해결한다. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하자.

곡선 $y = x ^{2} - 2 x$와 직선 $y = 3 x + k$가 만나는 점이 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$이므로 두 식 $y = x ^{2} - 2 x$, $y = 3 x + k$를 연립하여 얻은 방정식 $x ^{2} - 2 x$$= 3 x + k$ $x ^{2} - 5 x - k = 0$ 의 두 실근이 $\alpha$, $\beta$이어야 한다. 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = 5$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\alpha \beta = \mathit{-} k$ $\cdots \cdots$ ㉡ 선분 $\mathrm{PQ}$를 $1 : 2$로 내분하는 점의 $x$좌표가 $1$이므로 $\displaystyle \frac{1 \times \beta + 2 \times \alpha}{1 + 2} = 1$ $2 \alpha + \beta = 3$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉠, ㉢을 연립하여 풀면 $\alpha = \mathit{-} 2$, $\beta = 7$ ㉡에서 $- k = \mathit{\alpha} \beta = \mathit{-} 14$ 따라서 $k = 14$