공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선과 직선 현의 길이

문제

[13 ~ 14] 그림과 같이 33 이상의 자연수 n{{n}}에 대하여 곡선 y=x2{y = x ^{2}}과 직선 y=nx−2{{y = n x - 2}}가 두 점 A{{\mathrm{A}}}, B{{\mathrm{B}}}에서 만난다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, O{{\mathrm{O}}}는 원점이다.)

n=4n = 4일 때, 선분 AB\mathrm{AB}의 길이는? [3점] ①17\displaystyle \sqrt{17}②34\displaystyle \sqrt{34}③217\displaystyle 2 \sqrt{17}④234\displaystyle 2 \sqrt{34}⑤417\displaystyle 4 \sqrt{17}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선이 만나는 두 점 사이의 거리를 구한다. 곡선 y=x2y = x ^{2}과 직선 y=4x−2y = 4 x - 2의 두 교점을 각각 A(α,4α−2)\mathrm{A} ( \mathit{\alpha} , 4 \alpha - 2 ), B(β,4β−2)\mathrm{B} ( \mathit{\beta} , 4 \beta - 2 )라 하자. y=x2y = x ^{2}, y=4x−2y = 4 x - 2를 연립하면 x2=4x−2x ^{2} = 4 x - 2 x2−4x+2=0x ^{2} - 4 x + 2 = 0 이차방정식의 두 근이 α\alpha, β\beta이므로 근과 계수의 관계에 의해 α+β=4\alpha + \beta = 4, αβ=2\alpha \beta = 2 AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}=(β−α)2+{(4β−2)−(4α−2)}2\displaystyle = \sqrt{\left( \beta - \alpha \right) ^{2} + \left\{ \left( 4 \beta - 2 \right) - \left( 4 \alpha - 2 \right) \right\} ^{2}} =(β−α)2+16(β−α)2\displaystyle = \sqrt{\left( \beta - \alpha \right) ^{2} + 16 \left( \beta - \alpha \right) ^{2}} =17(β−α)2\displaystyle = \sqrt{17 \left( \beta - \alpha \right) ^{2}} (β−α)2=(β+α)2−4αβ\left( \beta - \alpha \right) ^{2} = \left( \beta + \alpha \right) ^{2} - 4 \alpha \beta=16−8=8= 16 - 8 = 8이므로 AB‾=17×8\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \sqrt{17 \times 8}=234\displaystyle = 2 \sqrt{34} [다른 풀이] 곡선 y=x2y = x ^{2}과 직선 y=4x−2y = 4 x - 2의 두 교점을 각각 A(α,α2)\mathrm{A} ( \mathit{\alpha} , \alpha ^{2} ), B(β,β2)\mathrm{B} ( \mathit{\beta} , \beta ^{2} )이라 하자. y=x2y = x ^{2}, y=4x−2y = 4 x - 2를 연립하면 x2=4x−2x ^{2} = 4 x - 2 x2−4x+2=0x ^{2} - 4 x + 2 = 0 이차방정식의 두 근이 α\alpha, β\beta이므로 근과 계수의 관계에 의해 α+β=4\alpha + \beta = 4, αβ=2\alpha \beta = 2 (β−α)2=(β+α)2−4αβ\left( \beta - \alpha \right) ^{2} = \left( \beta + \alpha \right) ^{2} - 4 \alpha \beta=16−8=8= 16 - 8 = 8이므로 AB‾=(β−α)2+(β2−α2)2\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \sqrt{\left( \beta - \alpha \right) ^{2} + \left( \beta ^{2} - \alpha ^{2} \right) ^{2}} =(β−α)2+(β+α)2(β−α)2\displaystyle = \sqrt{\left( \beta - \alpha \right) ^{2} + ( \beta + \alpha ) ^{2} \left( \beta - \alpha \right) ^{2}} =8+16×8=234\displaystyle = \sqrt{8 + 16 \times 8} = 2 \sqrt{34}

태그

#근과 계수의 관계#두 점 사이의 거리

비슷한 문제 더 보기

공통수학1 문제 모음공통수학1 이차방정식과 이차함수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로