포물선과 직선 거리 최소

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이용하여 거리의 최솟값을 구한다. 직선 $y = 2 x + k$와 평행하고 곡선 $y = - x ^{2} + 4$에 접하는 직선의 방정식을 $y = 2 x + k'$이라 하자. 곡선 $y = - x ^{2} + 4$와 직선 $y = 2 x + k'$의 방정식을 연립하면 $- x ^{2} + 4 = 2 x + k'$ $x ^{2} + 2 x + k' - 4 = 0$ 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 1 - ( k' - 4 ) = 0$ ∴ $k' = 5$ 따라서 직선 $y = 2 x + k$와 평행하고 곡선 $y = - x ^{2} + 4$에 접하는 직선의 방정식은 $y = 2 x + 5$이다. 이 직선 위의 한 점 $\mathrm{(} 0 , 5 )$와 직선 $y = 2 x + k$ 사이의 거리가 곡선 $y = - x ^{2} + 4$ 위의 점과 직선 $y = 2 x + k$ 사이의 거리의 최솟값과 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| - 5 + k \right|}{\sqrt{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = 2 \sqrt{5}$ $\left| k - 5 \right| = 10$ ∴ $k = 15$ 또는 $k = - 5$ $k = - 5$이면 곡선 $y = - x ^{2} + 4$와 직선 $y = 2 x - 5$가 만나므로 조건을 만족하지 않는다. ∴ $k = 15$

[참고] (1) 직선과 곡선이 만나는 경우 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값은 $0$이다. (2) 직선과 곡선이 만나지 않는 경우 직선 $l$에 평행하고 곡선 위의 한 점 $\mathrm{P}$에서 접하는 직선을 $m$이라 하자. 곡선 위의 점과 직선 $l$ 사이의 거리의 최솟값은 점 $\mathrm{P}$와 직선 $l$ 사이의 거리와 같다. 한편, 두 직선 $l$, $m$이 평행하면 직선 $m$ 위의 임의의 점과 직선 $l$ 사이의 거리는 항상 같다.