포물선과 접선 삼각형

점 ${\mathrm{A}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하자.

이차함수 $y = - x ^{2} + 4 x + 5$의 그래프와 직선 $y = 2 x + a$가 한 점 $\mathrm{A}$에서만 만나므로 $- x ^{2} + 4 x + 5 = 2 x + a$ $x ^{2} - 2 x + a - 5 = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 은 중근을 가진다. 판별식 $\displaystyle \frac{D}{4} = \left( - 1 \right) ^{2} - 1 \times \left( a - 5 \right) = 0$에서 $a = 6$이다. $a = 6$을 ㉠에 대입하면 $x ^{2} - 2 x + 1 = 0$, $( x - 1 ) ^{2} = 0$이므로 점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표는 $\mathrm{1}$이다. ${\mathrm{A}} \mathit{(} 1 , 8 )$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AH}}} = 8$이다. 이차함수 $y = - x ^{2} + 4 x + 5$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표는 이차방정식 $- x ^{2} + 4 x + 5 = 0$의 두 실근이다. $- x ^{2} + 4 x + 5 = - \left( x + 1 \right) \left( x - 5 \right) = 0$이므로 ${\mathrm{B}} \mathit{(} - 1 , 0 )$, ${\mathrm{C}} \mathit{(} 5 , 0 )$이고 $\displaystyle \overline{{\mathrm{BC}}} = 6$이다. 따라서 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{BC}}} \times \overline{{\mathrm{AH}}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$이다.