포물선과 초점 거리비

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나는 직선이 $x$축과 만나는 점의 좌표를 $\mathrm{F}' \mathit{\left( - p , 0 \right)}$, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 준선 $x = \mathit{-} p$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{B}'$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{FA}} \mathit{:} \mathrm{\overline{FB}} \mathit{=} \mathrm{\overline{AA'}} \mathit{:} \mathrm{\overline{BB'}} \mathit{=} \mathrm{\overline{F' A'}} \mathit{:} \mathrm{\overline{F' B'}} \mathit{=} 1 : 3$ 따라서 점 $\mathrm{A}$의 $y$좌표를 $k$라 하면 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표는 $3 k$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( \frac{k ^{2}}{4 p} , k \right)}$, $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( \frac{9 k ^{2}}{4 p} , 3 k \right)}$ 점 $\mathrm{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H} \mathit{\left( \frac{9 k ^{2}}{4 p} , 0 \right)}$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{BFH}$의 넓이가 $\displaystyle 46 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle 46 \sqrt{3}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\mathrm{\overline{FH}}} \times {\mathrm{\overline{BH}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \frac{9 k ^{2}}{4 p} - p \right) \times 3 k$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 또한 점 $\mathrm{F}'$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 일직선상에 있으므로 $\displaystyle \frac{k}{\frac{k ^{2}}{4 p} + p} = \frac{3 k}{\frac{9 k ^{2}}{4 p} + p}$, $\displaystyle \frac{9 k ^{2}}{4 p} + p = \frac{3 k ^{2}}{4 p} + 3 p$ $\displaystyle k ^{2} = \frac{4}{3} p ^{2}$ $\therefore$$\displaystyle k = \frac{2 \sqrt{3}}{3} p$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle 46 \sqrt{3}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 3 p - p \right) \times 2 \sqrt{3} p$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} p ^{2}$ $\therefore$$p ^{2} = 23$