미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선에 내접하는 직사각형 최대 넓이

문제

y=3−2x2y = 3 - 2 x ^{2}과 xx축 사이에 내접하는 직사각형의 최대 넓이는?

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22\displaystyle 2 \sqrt{2}

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해설

그림과 같이 곡선과 내접하는 직사각형의 접점을 P(a,3−2a2)P ( a , 3 - 2 a ^{2} ) 라고 하면, 직사각형의 넓이 SS는 S=2a(3−2a2)=−4a3+6aS = 2 a ( 3 - 2 a ^{2} ) = - 4 a ^{3} + 6 a (0<a<62)\displaystyle ( 0 < a < \frac{\sqrt{6}}{2} ) 식을 aa에 관하여 미분하면 dSda=−6(2a2−1)\displaystyle \frac{dS}{da} = - 6 ( 2 a ^{2} - 1 ) 따라서 a=22\displaystyle a = \frac{\sqrt{2}}{2}에서 극대값 22\displaystyle 2 \sqrt{2}를 가진다.

태그

#최대와 최소#미분

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