포물선 위에서 거리가 같은 점이 3개인 조건

실마리: 거리 조건을 만족시키는 점은 직선 $y = 2 x + k$와 평행하고 거리가 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{5}}{5}$인 두 직선 위에 있다. 점 $( t , t ^{2} )$과 직선 $2 x - y + k = 0$ 사이의 거리가 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{5}}{5}$이므로 $\displaystyle \frac{\left| 2 t - t ^{2} + k \right|}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$에서 $\left| t ^{2} - 2 t - k \right| = 2$ $t ^{2} - 2 t - k = 2$ 또는 $t ^{2} - 2 t - k = - 2$ 즉 점의 개수는 두 이차방정식 $t ^{2} - 2 t - ( k + 2 ) = 0$, $t ^{2} - 2 t - ( k - 2 ) = 0$의 서로 다른 실근의 개수의 합이다. 두 방정식은 상수항이 다르므로 공통근이 없고, 실근의 개수의 합이 $3$이려면 한 방정식은 중근, 다른 방정식은 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. (i) $t ^{2} - 2 t - ( k + 2 ) = 0$이 중근을 가지면 $1 + ( k + 2 ) = 0$에서 $k = - 3$ 이때 $t ^{2} - 2 t + 5 = 0$의 판별식은 $4 - 20 < 0$이므로 실근이 없어 점의 개수는 $1$이다. (ii) $t ^{2} - 2 t - ( k - 2 ) = 0$이 중근을 가지면 $1 + ( k - 2 ) = 0$에서 $k = 1$ 이때 $t ^{2} - 2 t - 3 = 0$에서 $( t + 1 ) ( t - 3 ) = 0$이므로 서로 다른 두 실근을 가져 점의 개수는 $3$이다. 그림에서 직선 $y = 2 x - 1$은 포물선과 점 $( 1 , 1 )$에서 접하고, 직선 $y = 2 x + 3$은 두 점 $( - 1 , 1 )$, $( 3 , 9 )$에서 만난다. 따라서 $k = 1$이다.