공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선 위 삼각형 넓이 빈칸

문제

다음은 이차함수 y=x2y = x ^{2}의 그래프 위의 세 점 P(−1,1)\mathrm{P} ( - 1 , 1 ), A(a,a2)\mathrm{A} ( \mathit{a} , a ^{2} ), B(a−12,(a−12)2)\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\mathit{a - 1}}{2} , \left( \frac{a - 1}{2} \right) ^{2} \right)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 넓이를 구하는 과정이다. (단, a>1a > 1이다.)

점 B\mathrm{B}를 지나고 yy축과 평행한 직선이 직선 PA\mathrm{PA}와 만나는 점을 M\mathrm{M}, xx축과 만나는 점을 N\mathrm{N}이라 하자.

두 점 Q(−1,0)\mathrm{Q} \left( - 1 , 0 \right), R(a,0)\mathrm{R} \left( \mathit{a} , 0 \right)에 대하여 사각형 PARQ\mathrm{PARQ}는 사다리꼴이다. 두 점 M\mathrm{M}과 N\mathrm{N}은 각각 두 선분 PA\mathrm{PA}, QR\mathrm{QR}의 중점이므로 MN‾=12×(PQ‾+AR‾)=\displaystyle \mathrm{\overline{MN}} = \frac{1}{2} \times \left( \overline{PQ} + \overline{AR} \right) =□(가)\square {( \text{가} ) _{} ^{} {}^{}} 이다. 또한 MB‾=MN‾−BN‾=\displaystyle \mathrm{\overline{MB}} = \overline{MN} - \overline{BN} =□(가)\square {( \text{가} ) _{} ^{{}^{}}}−(a−12)2\displaystyle - \left( \frac{a - 1}{2} \right) ^{2}=□(나)= \square {( \text{나} ) _{} ^{} {}^{}} 이다. 따라서 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 넓이를 SS라 하면 S=2×△MAB=2×12×MB‾×NR‾=(a+1)3□(다)\displaystyle \begin{aligned} S & = 2 \times \triangle \mathrm{MAB} \\ & = \mathrm{2} \times \frac{1}{2} \times \overline{MB} \times \overline{NR} \\ & = \frac{( a + 1 ) ^{3}}{\square {( \text{다} ) _{} ^{{}^{}}}} \end{aligned} 이다.

위의 과정에서 (가)( \text{가} ), (나)( \text{나} )에 알맞은 식을 각각 f(a)f ( a ), g(a)g ( a )라 하고 (다)( \text{다} )에 알맞은 수를 kk라 할 때, f(3)+g(5)+kf ( 3 ) + g ( 5 ) + k의 값은? [4점] ①1616②1818③2020④2222⑤2424

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④

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해설

[출제의도] 다항식의 성질을 이용하여 추론하기 PQ‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 1, AR‾=a2\displaystyle \mathrm{\overline{AR}} = \mathit{a} ^{2}이므로 MN‾=12×(PQ‾+AR‾)=\displaystyle \mathrm{\overline{MN}} = \frac{1}{2} \times \left( \overline{PQ} + \overline{AR} \right) =□1+a22\displaystyle \square {\frac{1 + a ^{2}}{2}} 이다. 또한 MB‾=MN‾−BN‾=\displaystyle \mathrm{\overline{MB}} = \overline{MN} - \overline{BN} =□1+a22\displaystyle \square {\frac{1 + a ^{2}}{2}}−(a−12)2\displaystyle - \left( \frac{a - 1}{2} \right) ^{2}=□(a+12)2\displaystyle = {\square {\left( \frac{a + 1}{2} \right) ^{2}}} 이다. 따라서 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 넓이를 SS라 하면 S=2×△MAB=2×12×MB‾×NR‾=2×12×(a+12)2×a+12=(a+1)3□8\displaystyle \begin{aligned} S & = 2 \times \triangle \mathrm{MAB} \\ & = \mathrm{2} \times \frac{1}{2} \times \overline{MB} \times \overline{NR} \\ & = \mathrm{2} \times \frac{1}{2} \times \left( \frac{\mathit{a} + 1}{2} \right) ^{2} \times \frac{\mathit{a} + 1}{2} \\ & = \frac{( a + 1 ) ^{3}}{\square {8}} \end{aligned} 이므로 f(a)=1+a22\displaystyle f ( a ) = \frac{1 + a ^{2}}{2}, g(a)=(a+12)2\displaystyle g ( a ) = \left( \frac{a + 1}{2} \right) ^{2}, k=8k = 8이다. 따라서 f(3)+g(5)+k=5+9+8=22f ( 3 ) + g ( 5 ) + k = 5 + 9 + 8 = 22이다.

태그

#이차함수#사다리꼴 중점#빈칸 추론

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