포물선 위 중심 원 넓이 최대

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 이차함수 $y = x ^{2} - 2 x - 3$의 그래프 위의 점 $\mathrm{C} \mathit{\left( a , a ^{2} - 2 a - 3 \right)}$이 원의 중심이고 원이 직선 $y = 2 x + 9$에 접하므로 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 $r$와 같다. $\displaystyle r = \frac{\left| 2 a - ( a ^{2} - 2 a - 3 ) + 9 \right|}{\sqrt{5}}$$\displaystyle = \frac{\left| - a ^{2} + 4 a + 12 \right|}{\sqrt{5}}$ 점 $\mathrm{C} \mathit{(} a , b )$는 주어진 조건 $2 a - b + 9 > 0$에 의하여 이차함수 $y = x ^{2} - 2 x - 3$과 직선 $y = 2 x + 9$의 두 교점 사이에 있으므로 $- 2 < a < 6$이다. $- a ^{2} + 4 a + 12 > 0$이므로 $\displaystyle r = \frac{- a ^{2} + 4 a + 12}{\sqrt{5}} = - \frac{1}{\sqrt{5}} ( a - 2 ) ^{2} + \frac{16}{\sqrt{5}}$ 그러므로 $a = 2$일 때 반지름의 길이 $r$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{16}{\sqrt{5}}$이므로 원의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{256}{5} \pi$이다. 따라서 $p + q = 261$ (별해) 원의 반지름의 길이는 원의 중심 $\mathrm{C}$와 직선 $y = 2 x + 9$ 사이의 거리이다. 점 $\mathrm{C}$를 지나는 직선 $y = 2 x + k$가 이차함수 $y = x ^{2} - 2 x - 3$의 그래프와 접할 때 원의 반지름의 길이가 최대이므로 원의 넓이는 최대이다. 방정식 $x ^{2} - 2 x - 3 = 2 x + k$가 중근을 가져야 하므로 $x ^{2} - 4 x - 3 - k = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 2 ^{2} + 3 + k = 0$, $k = - 7$ 넓이가 최대인 원의 반지름의 길이는 두 직선의 방정식 $y = 2 x - 7$과 $y = 2 x + 9$ 사이의 거리인 $\displaystyle \frac{16}{\sqrt{5}}$과 같으므로 원의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{256}{5} \pi$이다. 따라서 $p + q = 261$