포물선 위 지름과 접선

원 $C$의 반지름의 길이를 $r$라 하자. 원 $C$의 넓이가 $8 \pi$이므로 $r ^{2} \pi = 8 \pi$에서 $\displaystyle r = 2 \sqrt{2}$이고 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 4 \sqrt{2}$ 점 $\mathrm{A}$를 지나고 원 $C$에 접하는 직선과 직선 $\mathrm{AB}$는 서로 수직이므로 직선 $\mathrm{A} B$의 기울기는 $\mathrm{-} 1$ 직선 $\mathrm{AB}$의 $y$절편을 $k$라 하면 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $y = - x + k$ 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta \left( \alpha < \beta \right)$라 하자. 곡선 $y = - x ^{2} + 6 x$와 직선 $y = - x + k$가 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$에서 만나므로 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $x ^{2} - 7 x + k = 0$의 서로 다른 두 실근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 7$, $\alpha \beta = k$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 4 \sqrt{2}$이고 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기가 $\mathrm{-} 1$이므로 $\displaystyle \left( \beta - \alpha \right) \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$에서 $\beta - \alpha = 4$ 두 식을 연립하여 계산하면 $\displaystyle \alpha = \frac{3}{2}$, $\displaystyle \beta = \frac{11}{2}$ 따라서 직선 $\mathrm{AB}$의 $y$절편은 $\displaystyle \frac{3}{2} \times \frac{11}{2} = \frac{33}{4}$