대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 위 점열

문제

함수 $y = x ^{2}$ 의 그래프 위에 다음 조건을 만족시키도록 점 $\mathrm{P} _{1}$ , $\mathrm{P} _{2}$ , $\mathrm{P} _{3}$ , $\cdots$ 을 차례로 정한다.

(가) 점 $\mathrm{P} _{1}$ 의 좌표는 $( 1 , 1 )$ 이다. (나) 직선 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}$ 의 기울기는 $n$ 이다. ( $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$ )

점 $\mathrm{P} _{2009}$ 의 $x$ 좌표는? [4점] ① $1001$ ② $1002$ ③ $1003$ ④ $1004$ ⑤ $1005$

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⑤

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해설

[출제의도] 조건을 만족하는 점의 규칙성을 발견할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$ 의 $x$ 좌표를 $x _{n}$ 이라 하면 $\displaystyle \frac{x _{n+1} ^{2} - x _{n} ^{2}}{x _{n+1} - x _{n}} = n$ 에서 $x _{n+1} + x _{n} = n$ $S _{2009} = x _{1} + ( x _{2} + x _{3} ) + ( x _{4} + x _{5} ) + \cdots + ( x _{2008} + x _{2009} )$ $\displaystyle = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{1004} 2 k = 1 + 1004 \times 1005 \cdots \text{①}$ $S _{2008} = ( x _{1} + x _{2} ) + ( x _{3} + x _{4} ) + \cdots + ( x _{2007} + x _{2008} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{1004} ( 2 k - 1 ) = 1004 ^{2} \cdots \text{②}$ $x _{2009} = S _{2009} - S _{2008} = ( 1 + 1004 \times 1005 ) - ( 1004 ^{2} ) = 1005$

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