포물선 넓이 비

[출제의도] 정적분을 이용하여 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 알고 주어진 값을 구한다. 두 점 $\mathrm{A} ( \mathit{2} , 0 )$, $\mathrm{B} ( \mathit{0} , 3 )$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{3}{2} x + 3$ 이 직선과 함수 $y = ax ^{2}$의 그래프의 교점의 $x$좌표를 $p$라 하면 $\displaystyle - \frac{3}{2} p + 3 = ap ^{2}$ …… ㉠ $\displaystyle S _{1} = \int _{0} ^{p} {} \left\{ \left( - \frac{3}{2} x + 3 \right) - ax ^{2} \right\} dx$ $\displaystyle \left. = \left[ - \frac{3}{4} x ^{2} + 3 x - \frac{1}{3} ax ^{3} \right] _{0} ^{p} \right.$ $\displaystyle = - \frac{3}{4} p ^{2} + 3 p - \frac{1}{3} ap ^{3}$ $\displaystyle = - \frac{3}{4} p ^{2} + 3 p - \frac{1}{3} p \left( - \frac{3}{2} p + 3 \right)$ $\displaystyle = - \frac{1}{4} p ^{2} + 2 p$…… ㉡ 한편 $\displaystyle S _{1} + S _{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$이고 $S _{1} : S _{2} = 13 : 3$이므로 $\displaystyle S _{1} = 3 \times \frac{13}{16} = \frac{39}{16}$…… ㉢ ㉡, ㉢에서 $\displaystyle - \frac{1}{4} p ^{2} + 2 p = \frac{39}{16}$ $4 p ^{2} - 32 p + 39 = 0$ $( 2 p - 3 ) ( 2 p - 13 ) = 0$ 따라서 $\displaystyle p = \frac{3}{2}$ (∵ $0 < p < 2$) 그러므로 ㉠에서 $\displaystyle - \frac{9}{4} + 3 = \frac{9}{4} a$ ∴ $\displaystyle a = \frac{1}{3}$