포물선 내분점과 넓이

[출제의도] 포물선의 성질을 이해하여 미지수를 구한다.

점 $\mathrm{Q}$에서 포물선의 준선 $x$$= \mathit{-} p$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}'$이라 하면 점 $\mathrm{Q}$는 포물선 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{QH}'}}$ 조건 (가)에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}} : {\overline{\mathrm{QH}}}$$= 1 : 2$이므로 $\cos \left( \angle \mathrm{HFO} \right)$$= \cos \left( \angle \mathrm{HQH}' \right)$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{QH}'}}}{{\overline{\mathrm{QH}}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ 그러므로 $\angle \mathrm{HFO}$$= 60 ^\circ$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} \parallel \overline{OF}$이므로 $\angle \mathrm{PHF}$$= \angle \mathrm{HFO}$$= 60 ^\circ$ 이때 삼각형 $\mathrm{PHF}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{PH}}$인 이등변삼각형이므로 $\angle \mathrm{PFH}$$= \angle \mathrm{PHF}$$= 60 ^\circ$ $\angle \mathrm{FPH}$$= 180 ^\circ - \left( 60 ^\circ + 60 ^\circ \right)$$= 60 ^\circ$이므로 삼각형 $\mathrm{PHF}$는 정삼각형이다. 이때 초점 $\mathrm{F}$의 좌표가 $\left( p , 0 \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}}$$= \mathit{4} p$ 조건 (나)에서 삼각형 $\mathrm{PQF}$의 넓이는 정삼각형 $\mathrm{PHF}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( 4 p \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$, $p ^{2}$$= 2$ 따라서 $p > 0$이므로 $p$$\displaystyle = \sqrt{2}$