기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선 무게중심 자취

문제

좌표평면에서 포물선 y2=16xy ^{2} = 16 x위의 점 AA에 대하여 점 BB는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 AA가 원점이면 점 BB도 원점이다. (나) 점 AA가 원점이 아니면 점 BB는 점 AA, 원점 그리고 점 AA에서의 접선이 yy축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심이다.

점 AA가 포물선 y2=16xy ^{2} = 16 x위를 움직일 때 점 BB가 나타내는 곡선을 CC라 하자. 점 (3,0)( 3 , 0 )을 지나는 직선이 곡선 CC와 두 점 PP, QQ에서 만나고 PQ‾=20\displaystyle \overline{PQ} = 20일 때, 두 점 PP, QQ의 xx좌표의 값의 합을 구하시오. [4점]

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해설

A(x1,y1){\mathrm{A}} ( x _{1} , y _{1} )이라 두면 접선 y1y=8(x+x1)y _{1} y = 8 ( x + x _{1} ) x=0x = 0이면 y=8x1y1\displaystyle y = \frac{8 x _{1}}{y _{1}} yy축과 교점 D(0,8x1y1)\displaystyle {\mathrm{D}} \left( 0 , \frac{8 x _{1}}{y _{1}} \right) y12=16x1y _{1} ^{2} = 16 x _{1}이므로 y12=8x1y1\displaystyle \frac{y _{1}}{2} = \frac{8 x _{1}}{y _{1}} ∴ D(0,y12)\displaystyle {\mathrm{D}} \left( 0 , \frac{y _{1}}{2} \right) 따라서, △OAD\mathrm{\triangle} OAD의 무게중심 B(0+0+x13,0+y12+y13)\displaystyle {\mathrm{B}} \left( \frac{0 + 0 + x _{1}}{3} , \frac{0 + \frac{y _{1}}{2} + y _{1}}{3} \right)=(x13,y12)\displaystyle = \left( \frac{x _{1}}{3} , \frac{y _{1}}{2} \right) x13=x\displaystyle \frac{x _{1}}{3} = x, y12=y\displaystyle \frac{y _{1}}{2} = y라 두면 x1=3xx _{1} = 3 x, y1=2yy _{1} = 2 y, y12=16x1y _{1} ^{2} = 16 x _{1}이므로 4y2=16×3x4 y ^{2} = 16 \times 3 x 따라서, y2=12xy ^{2} = 12 x

PQ‾=PF‾+QF‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \overline{PF} + \overline{QF}=(3+x1)+(3+x2)=20= ( 3 + x _{1} ) + ( 3 + x _{2} ) = 20 x1+x2+6=20x _{1} + x _{2} + 6 = 20 ∴ x1+x2=14x _{1} + x _{2} = 14

태그

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