미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선 직선 넓이

문제

그림과 같이 실수 $k \left( 0 < k < 6 \right)$ 에 대하여 직선 $y = x + k$ 가 곡선 $y = x ^{2}$ 과 만나는 두 점을 각각 ${\mathrm{P}}$ , ${\mathrm{Q}}$ 라 하고, 직선 $y = x + k$ 가 $y$ 축과 만나는 점을 ${\mathrm{R}}$ 이라 하자. 곡선 $y = x ^{2}$ 과 $y$ 축 및 선분 ${\mathrm{PR}}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$ , 곡선 $y = x ^{2}$ 과 $y$ 축 및 선분 ${\mathrm{QR}}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$ , 곡선 $y = x ^{2}$ 과 두 직선 $y = x + k$ , $x = 3$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $C$ 라 하자. $\displaystyle B - C = \frac{3}{2}$ 일 때, $k \times A$ 의 값은? (단, 점 ${\mathrm{P}}$ 의 $x$ 좌표는 점 ${\mathrm{Q}}$ 의 $x$ 좌표보다 작다.) [4점]

① $\displaystyle \frac{13}{6}$ ② $\displaystyle \frac{7}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{5}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{8}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{17}{6}$

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②

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해설

$B - C$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {\left\{ \left( x + k \right) - x ^{2} \right\} dx}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{1}{2} x ^{2} + kx \right] _{0} ^{3}$ $\displaystyle = 3 k - \frac{9}{2}$ $\displaystyle 3 k - \frac{9}{2} = \frac{3}{2}$ 에서 $k = 2$ 직선 $y = x + 2$ 와 곡선 $y = x ^{2}$ 의 교점을 구하면 $x + 2 = x ^{2}$ , $x ^{2} - x - 2 = 0$ , $\left( x - 2 \right) \left( x + 1 \right) = 0$ $\therefore$ $x = - 1$ 또는 $x = 2$ 이때 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표는 음수이므로 $\mathrm{P} \left( - 1 , 1 \right)$ 따라서 $A$ 의 넓이는 $\displaystyle A = \int _{- 1} ^{0} {\left\{ \left( x + 2 \right) - x ^{2} \right\} dx}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x \right] _{- 1} ^{0}$ $\displaystyle = - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$ $\displaystyle = \frac{7}{6}$ $\therefore$ $\displaystyle k \times A = 2 \times \frac{7}{6} = \frac{7}{3}$

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