포물선 접선과 원

중심의 좌표가 $\left( 1 , 0 \right)$이고 반지름의 길이가 $6$인 원 $C$의 방정식은 $C : \left( x - 1 \right) ^{2} + y ^{2} = 36$ 포물선 $y ^{2} = 4 x$ 위의 점 $\left( n ^{2} , 2 n \right)$에서의 접선을 $l$이라 하면 $l : 2 ny = 2 \left( x + n ^{2} \right)$, 즉 $x - ny + n ^{2} = 0$ 이때 원 $C$와 직선 $l$이 만나므로 원의 중심 $\left( 1 , 0 \right)$에서 직선 $l$까지의 거리가 원의 반지름 $6$보다 작거나 같아야 한다. 직선 $l$에서 원의 중심까지의 거리를 $d$라 하면 $d$$\displaystyle = \frac{\left| 1 + n ^{2} \right|}{\sqrt{1 + \left( - n \right) ^{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{1 + n ^{2}}$ $d \leq 6$에서 $\displaystyle \sqrt{1 + n ^{2}} \leq 6$, $n ^{2} \leq 35$ 따라서 이를 만족시키는 자연수 $n$의 값은 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 이므로 그 개수는 $5$이다.