포물선 접선과 타원 단축

[출제의도] 이차곡선을 이용하여 추론하기 점 $\displaystyle \mathrm{F} \mathit{\left( \frac{9}{4} , 0 \right)}$이 포물선의 초점이므로 준선의 방정식은 $x$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{9}{4}$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}}$$\displaystyle = x _{1} + \frac{9}{4}$$\displaystyle = \frac{25}{4}$에서 $x _{1}$$= 4$, $y _{1}$$= \mathit{6}$ 포물선 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식은 $6 y$$\displaystyle = \frac{9}{2} \left( x + 4 \right)$이고 점 $\mathrm{F}'$을 지나므로 $c$$= 4$ $\mathrm{P} \mathit{\left( 4 , 6 \right)}$, $\mathrm{F} \mathit{'} \left( - 4 , 0 \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}}$$= 10$ 타원의 장축의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}} + {\overline{\mathrm{PF}}}$$\displaystyle = \frac{65}{4}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F}' F}}$$\displaystyle = 4 + \frac{9}{4}$$\displaystyle = \frac{25}{4}$이므로 타원의 단축의 길이를 $k$라 하면 $\displaystyle \left( \frac{k}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = \left( \frac{65}{8} \right) ^{2} - \left( \frac{25}{8} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{225}{4}$ 따라서 타원의 단축의 길이는 $15$