포물선 접선과 초점거리

포물선 $\left( y + 2 \right) ^{2} = 16 \left( x - 8 \right)$는 포물선 $y ^{2} = 16 x$를 $x$축으로 $8$만큼, $y$축으로 $- 2$만큼 평행이동한 이차곡선이다. 포물선 $y ^{2} = 16 x$의 초점의 좌표가 $\left( 4 , 0 \right)$이므로 포물선 $\left( y + 2 \right) ^{2} = 16 \left( x - 8 \right)$의 초점의 좌표는 $\left( 4 + 8 , 0 - 2 \right)$, 즉 $\left( 12 , - 2 \right)$ 포물선 $y ^{2} = - 16 x$ 위의 한 점 $\left( a , b \right)$에서 접선의 방정식은 $by = - 8 \left( x + a \right)$ 이 접선이 점 $\left( 12 , - 2 \right)$를 지나므로 $- 2 b = - 8 \left( a + 12 \right)$, $b = 4 \left( a + 12 \right)$ $\cdots \cdots$ ㉠ 또 점 $\left( a , b \right)$가 포물선 위의 점이므로 $b ^{2} = - 16 a$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 $a ^{2} + 25 a + 144 = 0$ $a = - 9$ 또는 $a = - 16$ 이 값을 ㉠에 대입하면 $b = 12$ 또는 $b = - 16$ 따라서 구하는 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\left( - 9 , 12 \right)$ 또는 $\left( - 16 , - 16 \right)$ 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에서 포물선 $y ^{2} = - 16 x$의 초점까지의 거리는 포물선 $y ^{2} = - 16 x$의 준선인 $x = 4$까지의 거리와 같으므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{QF}}}$$= \left| - 9 - 4 \right| + \left| - 16 - 4 \right|$ $= 13 + 20 = 33$