기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 접선 삼각형

문제

그림과 같이 포물선 $y ^{2} = 4 px$ 의 초점을 $\mathrm{F}$ 라 하고, $\displaystyle \overline{\mathrm{FA}} = 10$ 을 만족하는 포물선 위의 점 $\mathrm{A} \mathit{(} a , b )$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABF}$ 의 넓이가 $40$ 일 때, $ab$ 의 값을 구하시오. (단, $a < p$ 이다.) [4점]

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16

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해설

[출제의도] 포물선의 성질 이해하기 점 $\mathrm{A}$ 의 좌표를 $( a , b )$ 이라 하면, 접선의 방정식에 의해 점 $\mathrm{B}$ 의 좌표는 $( - a , 0 )$ 점 $\mathrm{A}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$ 의 좌표는 $( a , 0 )$ 점 $\mathrm{H}$ 와 준선사이의 거리는 $10$ 이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{BO}} = \overline{OH} \mathit{=} a , \mathrm{\overline{HF}} \mathit{=} 10 - 2 a$ $\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{\overline{BF}} \times \overline{AH} \mathit{=} 5 b = 40$ $\displaystyle b = 8 , \overline{\mathrm{HF}} = 6 , a = 2 , p = 8$ $\mathrm{\therefore} A \mathit{(} 2 , 8 )$ 따라서 $ab = 16$

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