포물선 접선 넓이

[출제의도] 포물선의 접선을 활용하여 문제해결하기 점 $\mathrm{A}$에서 포물선에 그은 기울기가 양수인 접선과 포물선이 만나는 점을 $\mathrm{B} \left( \mathit{x} _{1} , y _{1} \right)$이라 하면 점 $\mathrm{B}$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{8}{y _{1}} \left( x + x _{1} \right)$ 포물선의 준선의 방정식이 $x = \mathit{-} 4$이므로 $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( - 4 , \frac{8}{y _{1}} \left( x _{1} - 4 \right) \right)}$, $\mathrm{H} \left( - 4 , \mathit{y} _{1} \right)$ 점 $\mathrm{A}$가 제$3$사분면 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \frac{8}{y _{1}} \left( 4 - x _{1} \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} \times {\overline{\mathrm{CH}}} = \frac{8}{y _{1}} \left( 4 - x _{1} \right) \times y _{1} = 8$ $\therefore$ $x _{1} = 3$, $\displaystyle y _{1} = 4 \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{A} \left( - 4 , - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( 3 , 4 \sqrt{3} \right)$, $\displaystyle \mathrm{H} \left( - 4 , 4 \sqrt{3} \right)$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABH}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 7 \times \frac{14}{3} \sqrt{3} = \frac{49}{3} \sqrt{3}$