기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 접선 기울기

문제

자연수 nn에 대하여 점 (−n,0)( - n , 0 )을 지나고 제11사분면에서 포물선 y2=4xy ^{2} = 4 x에 접하는 직선의 기울기를 ana _{n}이라 하자. ∑n=110(1an)2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( \frac{1}{a _{n}} \right) ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 포물선의 접선을 이해하여 수열의 합 구하는 문제를 해결한다. 포물선 y2=4xy ^{2} = 4 x와 접하고 기울기가 ana _{n}인 접선의 방정식은 y=anx+1an\displaystyle y = a _{n} x + \frac{1}{a _{n}}이다. 이 접선이 점 (−n,0)( - n , 0 )을 지나므로 0=an×(−n)+1an\displaystyle 0 = a _{n} \times ( - n ) + \frac{1}{a _{n}}, an2=1n\displaystyle a _{n} ^{2} = \frac{1}{n} 접선이 제11사분면에서 접하므로 an=1n\displaystyle a _{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}이다. 따라서 ∑n=110(1an)2=\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} {\left( \frac{1}{a _{n}} \right) ^{2} =}∑n=110n\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{10} {n}==5555

태그

#포물선#접선

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