기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

포물선 접선 초점

문제

자연수 nn에 대하여 직선 y=nx+(n+1)y = nx + ( n + 1 )이 꼭짓점의 좌표가 (0,0)( 0 , 0 )이고 초점이 (an,0)( a _{n} , 0 )인 포물선에 접할 때, ∑n=15an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} a _{n}의 값은? [3점] ①70②72③74④76⑤78

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①

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해설

꼭짓점의 좌표가 (0,0)( 0 , 0 )이고 초점이 (an,0)( a _{n} , 0 )인 포물선은 y2=4anxy ^{2} = 4 a _{n} x이고 기울기가 nn인 접선의 방정식은 y=nx+ann\displaystyle y = nx + \frac{a _{n}}{n}이다. 따라서 ann=n+1\displaystyle \frac{a _{n}}{n} = n + 1이고 an=n(n+1)a _{n} = n ( n + 1 )이다. ∴∑n=15an=∑n=15n(n+1)=70\displaystyle \therefore \sum\limits _{n=1} ^{5} a _{n} = \sum\limits _{n=1} ^{5} n ( n + 1 ) = 70

태그

#포물선#접선

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