대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 점 수열

문제

[15 ~ 16] 자연수 n{n}에 대하여 곡선 y=ax2{y = a x ^{2}}(a>0a > 0) 위의 점 Pn{\mathrm{P} _{\mathit{n}}}을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 P1{\mathrm{P} _{1}}의 좌표는 (x1,ax12){\mathit{(} x _{1} , a x _{1} ^{2} )}이다. (나) 점 Pn+1{\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1}}은 점 Pn(xn,axn2){\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathit{(} x _{n} , a x _{n} ^{2} )}을 지나는 직선 y=−axnx+2axn2{y = - a x _{n} x + 2 a x _{n} ^{2}}과 곡선 y=ax2{{y = a x ^{2}}}이 만나는 점 중에서 점 Pn{\mathrm{P} _{\mathit{n}}}이 아닌 점이다.

15번과 16번의 두 물음에 답하시오.

점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}의 xx좌표로 이루어진 수열 {xn}\left\{ x _{n} \right\}에서 x1=12\displaystyle x _{1} = \frac{1}{2}일 때, x10x _{10}의 값은? [4점] ①−1024- {1024}②−512- {512}③−256- 256④512{512}⑤1024{1024}

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③

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해설

[출제의도] 수열의 일반항을 이용하여 좌표 구하는 문제를 해결한다. P1(12,a4)\displaystyle \mathrm{P} \mathit{_{1}} \left( \frac{1}{2} , \frac{\mathit{a}}{4} \right)를 지나는 직선은 yy=−a2x+a2\displaystyle = - \frac{a}{2} x + \frac{a}{2} 직선 yy=−a2x+a2\displaystyle = - \frac{a}{2} x + \frac{a}{2}와 곡선 yy=ax2= ax ^{2}을 연립하면 ax2ax ^{2}=−a2x+a2\displaystyle = - \frac{a}{2} x + \frac{a}{2} 2x2+x−12 x ^{2} + x - 1=0= 0 xx=12\displaystyle = \frac{1}{2} 또는 xx=−1= - 1 P2\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{2}}}는 (−1,a)( - 1 , a ), x2x _{2}=−1= - 1 같은 방법으로 P3\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{3}}}을 구하면 P3\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{3}}}은 (2,4a)( 2 , 4 a ), x3x _{3}=2= 2 ⋮\vdots xnx _{n}=12(−2)n−1\displaystyle = \frac{1}{2} \left( - 2 \right) ^{n - 1} 따라서 x10=−256x _{10} = - 256

태그

#등비수열#포물선

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