포물선 초점거리 곱

두 점 $\mathrm{A} , B$의 좌표를 각각 $\mathrm{A} \mathit{(} x _{1} , y _{1} )$, $\mathrm{B} ( \mathit{x} _{2} , y _{2} )$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \mathit{x} _{1} + 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = \mathit{x} _{2} + 1$이다. 이때 삼각형 $\mathrm{AFB}$의 무게중심의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{x _{1} + x _{2} + 1}{3}$이므로 $\displaystyle x _{1} + x _{2} \frac{+ 1}{3} = 6$에서 $x _{1} + x _{2} = 17$이다. $x _{1} , x _{2}$는 $1$보다 큰 서로 다른 자연수이므로 가능한 $( x _{1} , x _{2} )$의 순서쌍은 $( 2 , 15 )$, $( 3 , 14 )$, $( 4 , 13 )$, $\cdots$, $( 8 , 9 )$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} \times {\overline{BF}} = \mathit{(} x _{1} + 1 ) ( x _{2} + 1 )$ $= x _{1} x _{2} + x _{1} + x _{2} + 1 = 18 + x _{1} x _{2}$에서 $x _{1} x _{2}$의 최댓값은 $72$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} \times {\overline{BF}}$의 최댓값은 $90$이다.