포물선 안 삼각형 넓이 최대

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 주어진 그림을 꼭짓점 $\mathrm{B}$를 원점으로, 직선 $\mathrm{BC}$를 $x$축, 직선 $\mathrm{BA}$를 $y$축으로 하는 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다.

$y = a \left( x - 2 \right) ^{2}$

직선 $\mathrm{AF}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + 4$ 포물선 $y = a \left( x - 2 \right) ^{2}$ ($a > 0$)은 점 $\mathrm{A} ( 0 , 4 )$를 지나므로 $4 = a \times \left( 0 - 2 \right) ^{2}$, $a = 1$ 포물선 $y = \left( x - 2 \right) ^{2}$과 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + 4$가 만나는 점의 $x$의 좌표는 $x = 0$, $\displaystyle x = \frac{7}{2}$ 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $\displaystyle t \left( 0 < t < \frac{7}{2} \right)$라 하면 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{t} , - \frac{1}{2} \mathit{t} + 4 \right)$, 점 $\mathrm{Q} \left( \mathit{t} , \mathit{\left( t - 2 \right)} ^{2} \right)$이고 삼각형 $\mathrm{AQP}$의 넓이를 $S \left( t \right)$라 하면 $\displaystyle S \left( t \right) = \frac{1}{2} \times t \times \left\{ - \frac{1}{2} t + 4 - \left( t - 2 \right) ^{2} \right\} = - \frac{1}{4} \left( 2 t ^{3} - 7 t ^{2} \right)$ $\displaystyle S' \left( t \right) = - \frac{1}{4} \left( 6 t ^{2} - 14 t \right) = - \frac{1}{2} t \left( 3 t - 7 \right)$ $S' \left( t \right) = 0$에서 $t = 0$ 또는 $\displaystyle t = \frac{7}{3}$ $S \left( t \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $S \left( t \right)$는 $\displaystyle t = \frac{7}{3}$에서 극대이면서 최대이므로 $S \left( t \right)$의 최댓값은 $\displaystyle - \frac{1}{4} \times \left\{ 2 \times \left( \frac{7}{3} \right) ^{3} - 7 \times \left( \frac{7}{3} \right) ^{2} \right\} = \frac{343}{108}$