피타고라스 수 증명

[출제의도] 정수의 약수, 배수를 이해하고 이를 이용하여 도형의 성질 증명하기 <증명> 직사각형의 가로, 세로, 대각선의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$ 라 하면 $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$ 이고, 넓이는 $ab$ 이다. 자연수 $a$, $b$, $c$ 에 대하여 $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$ 이면 $ab$ 는 $3$ 의 배수임을 증명하자. 자연수 $n$ 은 ⅰ) $n = 3 k ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots )$일 때, $n ^{2} = 9 k ^{2}$ ⅱ) $n = 3 k + 1 ( k = 0 , 1 , 2 , \cdots )$일 때, $n ^{2} = 9 k ^{2} + 6 k + 1$ ⅲ) $n = 3 k + 2 ( k = 0 , 1 , 2 , \cdots )$일 때, $n ^{2} = 9 k ^{2} + 12 k + 4$ 따라서 $n ^{2}$ 을 $3$ 으로 나누면 나머지는 $0$ 또는 $1$ 이다. $a$, $b$ 가 모두 $3$ 의 배수가 아니라면 $a ^{2} + b ^{2}$ 을 $3$ 으로 나눈 나머지는 이고, $c ^{2}$ 을 $3$ 으로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $1$ 이므로 모순이다. 그러므로 $a , b$ 중 적어도 하나는 $3$ 의 배수이다. 따라서 $ab$ 는 $3$ 의 배수이다.

<참고> ⅰ)의 경우 $n ^{2} = 9 k ^{2}$ 이므로 $3$ 의 배수이고, ⅱ)의 경우 $n ^{2} = 3 ( 3 k ^{2} + 2 k ) + 1$ ⅲ)의 경우 $n ^{2} = 3 ( 3 k ^{2} + 4 k + 1 ) + 1$ 이므로 (가) $n ^{2}$ 을 $3$ 으로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $1$ 이다. $a , b$ 가 모두 $3$ 의 배수가 아닌 경우 $a ^{2} , b ^{2}$ 은 $3$ 으로 나눈 나머지가 모두 $1$ 이므로 $a ^{2} = 3 m + 1$$b ^{2} = 3 n + 1$ 이 되고, $a ^{2} + b ^{2} = 3 ( m + n ) + 2$ 가 되어, (나) $a ^{2} + b ^{2}$ 을 $3$ 으로 나눈 나머지는 $2$ 가 된다. $c ^{2}$ 은 모든 경우에 대하여 $3$ 으로 나눈 나머지가 $0$ 또는 $1$ 이므로 $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$ 은 성립할 수 없다. 따라서 (다) $a , b$ 중 적어도 하나는 $3$ 의 배수이다.