페르마 수 서로소 증명

[출제의도] 지수법칙을 이용한 추론하기 임의의 자연수 $m , n$($m < n$)에 대하여 집합 $S$의 두 원소 $2 ^{2 ^{m}} + 1$과 $2 ^{2 ^{n}} + 1$의 공통인수를$d$($d > 1$)라고 가정하자. $2 ^{2 ^{n}} + 1$은 $( 2 ^{2 ^{n}} - 1 ) + 2$이고 $\displaystyle 2 ^{2 ^{n}} - 1 = ( \sqrt{2 ^{2 ^{n}}} + 1 ) ( \sqrt{2 ^{2 ^{n}}} - 1 )$$= ( 2 ^{{\square {2 ^{n - 1}}}} + 1 ) ( 2 ^{{\square {2 ^{n - 1}}}} - 1 )$ (∵ $\displaystyle \sqrt{2 ^{2 ^{n}}} = ( 2 ^{2 ^{n}} ) ^{\frac{1}{2}} = 2 ^{2 ^{n} \times \frac{1}{2}} = 2 ^{2 ^{n} \times 2 ^{- 1}} = 2 ^{2 ^{n - 1}}$) $2 ^{2 ^{n - 1}} - 1$$= ( 2 ^{2 ^{n - 2}} + 1 ) ( 2 ^{2 ^{n - 3}} + 1 ) \times \cdots \times ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )$ $2 ^{2 ^{n}} + 1 = ( 2 ^{2 ^{n}} - 1 ) + 2$ $= ( 2 ^{{\square {2 ^{n - 1}}}} + 1 ) ( 2 ^{{\square {2 ^{n - 1}}}} - 1 ) + 2$ $= ( 2 ^{{\square {2 ^{n - 1}}}} + 1 ) \times \cdots \times ( 2 ^{2 ^{m}} + 1 ) \times \cdots \times ( 2 + 1 ) + 2$ 따라서, $d$가 $2 ^{2 ^{m}} + 1$과 $2 ^{2 ^{n}} + 1$의 공통인수이고 $d > 1$이므로 $d = {\square {2}}$이다. 그러나, 모든 자연수 $n$에 대하여 $2 ^{2 ^{n}} + 1$은 ${\square {\text{홀수}}}$ 이므로 모순이다. 따라서, $2 ^{2 ^{m}} + 1$과 $2 ^{2 ^{n}} + 1$은 $1$보다 큰 공통인수를 갖지 않으므로 서로소이다.