판별식으로 구하는 ab의 최댓값

$ab = k$라 하면 $\displaystyle b = \frac{k}{a}$이므로 $ab + a + 2 b = 7$에서 $\displaystyle k + a + \frac{2 k}{a} = 7$, 즉 $a ^{2} + ( k - 7 ) a + 2 k = 0$ 을 만족하는 양수 $a$가 존재하도록 하는 $k$의 범위를 구한다. $a$에 대한 이차함수 $y =$$a ^{2} + ( k - 7 ) a + 2 k$ 의 $y$절편은 양수 $2 k$이므로 대칭축에서 $\displaystyle - \frac{k - 7}{2} > 0$, 즉 $k < 7$이고 --- ㉠ 판별식에서 $D = ( k - 7 ) ^{2} - 8 k \geq 0$, $k ^{2} - 22 k + 49 \geq 0$, $\displaystyle k \geq 11 + 6 \sqrt{2}$, $\displaystyle k \leq 11 - 6 \sqrt{2}$ －－－㉡ ㉠, ㉡에서 따라서 $\displaystyle k \leq 11 - 6 \sqrt{2}$이므로 구하려는 최댓값은 $\displaystyle 11 - 6 \sqrt{2}$이다.