대수삼각함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

외접원과 삼각형 넓이, 사인의 합

문제

삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이는 1212이고, 이 삼각형의 외접원의 넓이는 15π15 \pi이다. 이 외접원의 중심을 O\mathrm{O}라고 할 때, 다음 식의 값은? sin⁡(∠AOB)+sin⁡(∠BOC)+sin⁡(∠COA)\sin ( \mathrm{\angle} AOB ) + \sin ( \mathrm{\angle} BOC ) + \sin ( \mathrm{\angle} COA ) ①65\displaystyle \frac{6}{5}②75\displaystyle \frac{7}{5}③85\displaystyle \frac{8}{5}④95\displaystyle \frac{9}{5}⑤22

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③

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해설

외접원의 반지름의 길이를 rr이라 하면 πr2=15π\pi r ^{2} = 15 \pi이므로 r=15\displaystyle r = \sqrt{15} ∴ OA‾=OB‾=OC‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \overline{OB} = \overline{OC}=15\displaystyle = \sqrt{15} (△ABC\mathrm{ABC}의 넓이) ==(△AOB\mathrm{AOB}의 넓이)++(△BOC\mathrm{BOC}의 넓이)++(△COA\mathrm{COA}의 넓이) =12OA‾⋅OB‾sin⁡(∠AOB)\displaystyle = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}} \cdot \overline{\mathrm{OB}} \sin ( \mathrm{\angle} AOB )+12OB‾⋅OC‾sin⁡(∠BOC)\displaystyle + \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OB}} \cdot \overline{\mathrm{OC}} \sin ( \mathrm{\angle} BOC )+12OC‾⋅OA‾sin⁡(∠COA)\displaystyle + \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OC}} \cdot \overline{\mathrm{OA}} \sin ( \mathrm{\angle} COA ) =12(15)2{sin⁡(∠AOB)+sin⁡(∠BOC)+sin⁡(∠COA)}\displaystyle = \frac{1}{2} ( \sqrt{15} ) ^{2} \left\{ \sin ( \mathrm{\angle} AOB ) + \sin ( \mathrm{\angle} BOC ) + \sin ( \mathrm{\angle} COA ) \right\} =12= 12 ∴ sin⁡(∠AOB)+sin⁡(∠BOC)+sin⁡(∠COA)\sin ( \mathrm{\angle} AOB ) + \sin ( \mathrm{\angle} BOC ) + \sin ( \mathrm{\angle} COA )=12×215=85\displaystyle = 12 \times \frac{2}{15} = \frac{8}{5}

태그

#삼각형의 넓이#사인법칙#외접원

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