대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

외접원과 두 원 수선

문제

그림과 같이 AB‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 4, AC‾=8\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 8, ∠CBA>π2\displaystyle \angle {\mathrm{CBA}} > \frac{\pi}{2}인 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}의 외접원의 반지름의 길이가 161515\displaystyle \frac{16 \sqrt{15}}{15}이다. 선분 AB{\mathrm{AB}}의 중점을 M{\mathrm{M}}, 선분 AC{\mathrm{AC}}의 중점을 N{\mathrm{N}}이라 할 때, 두 점 M{\mathrm{M}}, N{\mathrm{N}}을 각각 중심으로 하고 점 A{\mathrm{A}}를 지나는 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}가 있다. 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}가 만나는 점 중 A{\mathrm{A}}가 아닌 점을 D{\mathrm{D}}라 하고, 점 M{\mathrm{M}}에서 선분 DN{\mathrm{DN}}에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 하자. 선분 MH{\mathrm{MH}}의 길이는? [4점]

①51516\displaystyle \frac{5 \sqrt{15}}{16}②111532\displaystyle \frac{11 \sqrt{15}}{32}③558\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{8}④3158\displaystyle \frac{3 \sqrt{15}}{8}⑤354\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}}{4}

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④

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해설

∠CBA=θ\angle {\mathrm{CBA}} = \theta라 하자. 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}에서 사인법칙에 의하여 AC‾sin⁡θ=8sin⁡θ=2×161515\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AC}}}}{\sin \theta} = \frac{8}{\sin \theta} = 2 \times \frac{16 \sqrt{15}}{15} sin⁡θ=154\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4} cos⁡2θ=1−sin⁡2θ=1−(154)2=116\displaystyle \cos ^{2} \theta = 1 - \sin ^{2} \theta = 1 - \left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right) ^{2} = \frac{1}{16} π2<θ<π\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi이므로 cos⁡θ=−14\displaystyle \cos \theta = - \frac{1}{4} BC‾=a(a>0)\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = a \left( a > 0 \right)이라 하자. 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}에서 코사인법칙에 의하여 cos⁡θ=AB‾2+BC‾2−AC‾22×AB‾×BC‾\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2}}{2 \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{BC}}}} −14=16+a2−642×4×a\displaystyle - \frac{1}{4} = \frac{16 + a ^{2} - 64}{2 \times 4 \times a} a2+2a−48=0a ^{2} + 2 a - 48 = 0, (a−6)(a+8)=0\left( a - 6 \right) \left( a + 8 \right) = 0 a=6a = 6 두 점 M{\mathrm{M}}, N{\mathrm{N}}은 각각 선분 AB{\mathrm{AB}}와 선분 AC{\mathrm{AC}}의 중점이므로 MN‾=12×BC‾=3\displaystyle {\overline{{\mathrm{M}} {\mathrm{N}}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{{\mathrm{B}} {\mathrm{C}}}} = 3 점 D{\mathrm{D}}는 원 C1C _{1} 위의 점이므로 MD‾=2\displaystyle {\overline{{\mathrm{M}} {\mathrm{D}}}} = 2 점 D{\mathrm{D}}는 원 C2C _{2} 위의 점이므로 DN‾=4\displaystyle {\overline{{\mathrm{D}} {\mathrm{N}}}} = 4 ∠MND=α\angle M N D = \alpha (0<α<π2)\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right. 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right)라 하자. 삼각형 MDN{\mathrm{MDN}}에서 코사인법칙에 의하여 cos⁡α\cos \alpha=MN‾2+DN‾2−MD‾22×MN‾×DN‾\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{MN}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DN}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{MD}}} ^{2}}{2 \times {\overline{\mathrm{MN}}} \times {\overline{\mathrm{DN}}}} =32+42−222×3×4=78\displaystyle = \frac{3 ^{2} + 4 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \times 3 \times 4} = \frac{7}{8} sin⁡2α=1−cos⁡2α=1−(78)2=1564\displaystyle \sin ^{2} \alpha = 1 - \cos ^{2} \alpha = 1 - \left( \frac{7}{8} \right) ^{2} = \frac{15}{64} sin⁡α=158\displaystyle \sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{8} 따라서 직각삼각형 MHN{\mathrm{MHN}}에서 MH‾=MN‾×sin⁡α=3×158=3158\displaystyle {\overline{\mathrm{MH}}} = {\overline{\mathrm{MN}}} \times \sin \alpha = 3 \times \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{3 \sqrt{15}}{8} [다른 풀이] AB‾=2AM‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 {\overline{\mathrm{AM}}}, AC‾=2AN‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 2 {\overline{\mathrm{AN}}}, ∠MAN\angle {\mathrm{MAN}}은 공통이므로 두 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}와 AMN{\mathrm{AMN}}은 서로 닮음이고 닮음비는 2:12 : 1, 넓이의 비는 4:14 : 1이다. AM‾=DM‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} = {\overline{\mathrm{DM}}}, AN‾=DN‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AN}}} = {\overline{\mathrm{DN}}}이고 선분 MN{\mathrm{MN}}은 공통이므로 두 삼각형 AMN{\mathrm{AMN}}과 DMN{\mathrm{DMN}}은 서로 합동이다. 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}의 넓이는 12×AB‾×BC‾×sin⁡θ\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times \sin \theta=12×4×6×154\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \frac{\sqrt{15}}{4}=315\displaystyle = 3 \sqrt{15} 삼각형 DMN{\mathrm{DMN}}의 넓이는 14×315\displaystyle \frac{1}{4} \times 3 \sqrt{15}=12×DN‾×MH‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{DN}}} \times {\overline{\mathrm{MH}}}=12×4×MH‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times {\overline{\mathrm{MH}}} 따라서 MH‾=12×3154=3158\displaystyle {\overline{\mathrm{MH}}} = \frac{1}{2} \times \frac{3 \sqrt{15}}{4} = \frac{3 \sqrt{15}}{8}

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#사인법칙#코사인법칙#원

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