외접원과 변의 길이

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : {\overline{BC}} : {\overline{CA}} = 1 : 2 : \sqrt{2}$에서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 변 $\mathrm{AB , BC , CA}$의 길이를 각각 $\displaystyle k , 2 k , \sqrt{2} k ( k > 0 )$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의해 $2 k ^{2}$$= k ^{2} + 4 k ^{2} - 4 k ^{2} \cos ( \angle \mathrm{ABC} )$ $4 k ^{2} \cos ( \angle \mathrm{ABC} ) = \mathit{3} k ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\cos ( \angle ABC ) = \frac{3}{4}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\sin ( \angle ABC ) = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 넓이가 $28 \pi$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{7}$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의해 $\displaystyle \mathrm{\frac{{\overline{CA}}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = 4 \sqrt{7}}$이므로 선분 $\mathrm{CA}$의 길이는 $7$이다.