외접원 위의 점과 삼각형의 넓이 최대

원의 중심은 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 $x = 4$ 위에 있으므로 중심을 $\mathrm{M} ( 4 , k )$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{MA}} = \overline{\mathrm{MC}}$에서 $3 ^{2} + k ^{2} = 4 ^{2} + ( 7 - k ) ^{2}$ $9 + k ^{2} = 65 - 14 k + k ^{2}$에서 $k = 4$ 중심은 $\mathrm{M} ( 4 , 4 )$, 반지름의 길이는 $\displaystyle \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$ 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 밑변 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 6$은 일정하므로 넓이는 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표의 절댓값이 최대일 때 최대이다. 원 위의 점의 $y$좌표의 최댓값은 $4 + 5 = 9$이고, $y$좌표의 최솟값 $4 - 5 = - 1$의 절댓값보다 크다. 따라서 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times 9 = 27$ (검산) 점 $\mathrm{C} ( 8 , 7 )$에 대하여 $( 8 - 4 ) ^{2} + ( 7 - 4 ) ^{2} = 25$이므로 $\mathrm{C}$는 이 원 위에 있다.