외접원 넓이

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = a$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} = b$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = c$라 하고 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의해 $a = 2 R \sin A , b = 2 R \sin B , c = 2 R \sin C$ 조건 (가)에 의해 $\displaystyle \sin A = \sqrt{1 - \left( - \frac{1}{4} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$이므로 $\displaystyle a = \frac{\sqrt{15}}{2} R$ $\cdots \text{㉠}$ 조건 (나)에 의해 $\displaystyle b + c = 2 R \left( \sin B + \sin C \right) = 2 R \times \frac{9}{8} = \frac{9}{4} R$ $\cdots \text{㉡}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $\displaystyle \sqrt{15}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} bc \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \sqrt{15}$에서 $bc = 8$ $\cdots \text{㉢}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의해 $a ^{2}$$= b ^{2} + c ^{2} - 2 bc \cos A$$\displaystyle = b ^{2} + c ^{2} + \frac{1}{2} bc$$\displaystyle = \left( b + c \right) ^{2} - \frac{3}{2} bc$ $\text{㉠} , \text{㉡} , \text{㉢}$에 의해 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{15}}{2} R \right) ^{2} = \left( \frac{9}{4} R \right) ^{2} - \frac{3}{2} \times 8$에서 $\displaystyle R ^{2} = \frac{64}{7}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 넓이는 $\displaystyle \frac{64}{7} \pi$ 따라서 $p = 7$, $q = 64$이며 $p + q = 71$