외접원 넓이

[출제의도] 사인법칙와 코사인법칙을 활용하여 문제 해결하기 $\mathrm{\angle BAC = \theta}$$\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC ^{2}}}$$= 3 ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times 3 \times 4 \times \cos \theta$$= 25 - 24 \cos \theta$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$\displaystyle = \sqrt{25 - 24 \cos \theta}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R _{1}$이라 하면 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{\mathrm{\overline{BC}}}}{\sin \theta} = \mathit{2} R _{1}$, $\displaystyle R _{1} = \frac{\sqrt{25 - 24 \cos \theta}}{2 \sin \theta}$ 직각삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$$\displaystyle \mathrm{= \overline{AB} \cos \theta}$$= 3 \cos \theta$ 직각삼각형 $\mathrm{ACE}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}}$$\displaystyle \mathrm{= \overline{AC} \cos \theta}$$= 4 \cos \theta$ 삼각형 $\mathrm{ADE}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE} ^{2}}$$= \left( 3 \cos \theta \right) ^{2} + \left( 4 \cos \theta \right) ^{2} - 2 \times 3 \cos \theta \times 4 \cos \theta \times \cos \theta$ $= 25 \cos ^{2} \theta - 24 \cos ^{3} \theta$ $= \cos ^{2} \theta \left( 25 - 24 \cos \theta \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DE} = \cos \theta \sqrt{25 - 24 \cos \theta}}$ 삼각형 $ADE$의 외접원의 반지름의 길이를 $R _{2}$라 하면 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{{\overline{\mathrm{DE}}}}}{\sin \theta} = \mathit{2} R _{2}$, $\displaystyle R _{2} = \frac{\cos \theta \sqrt{25 - 24 \cos \theta}}{2 \sin \theta}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 넓이와 삼각형 $\mathrm{ADE}$의 외접원의 넓이의 차가 $4 \pi$이므로 $4 \pi$$= \pi R _{1} ^{2} - \pi R _{2} ^{2}$ $\displaystyle = \pi \times \frac{\left( 1 - \cos ^{2} \theta \right) \left( 25 - 24 \cos \theta \right)}{4 \sin ^{2} \theta}$ $\displaystyle = \frac{\pi \left( 25 - 24 \cos \theta \right)}{4}$ $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{8}$, $\sin \theta$$\displaystyle = \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{55}}{8}$ 사각형 $\mathrm{AEPD}$에서 $\mathrm{\angle AEP}$$\mathrm{= \angle ADP}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2}$ 이므로 네 점 $\mathrm{A , E , P , D}$는 선분 $\mathrm{AP}$를 지름으로 하는 한 원 위에 있고 삼각형 $\mathrm{PDE}$의 외접원은 삼각형 $\mathrm{ADE}$의 외접원과 일치한다. 삼각형 $\mathrm{PDE}$의 외접원의 넓이는 $\pi R _{2} ^{2}$ $\displaystyle R _{2} = \frac{\frac{3}{8} \times \sqrt{25 - 24 \times \frac{3}{8}}}{2 \times \frac{\sqrt{55}}{8}} = \frac{6}{\sqrt{55}}$ $\displaystyle \pi R _{2} ^{2} = \pi \left( \frac{6}{\sqrt{55}} \right) ^{2} = \frac{36}{55} \pi$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{36}{55}$, $55 a = 36$ [참고] 두 삼각형 $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{ADE}$는 서로 닮음이고 닮음비가 $1 : \cos \theta$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE} = \overline{BC} \times \cos \theta}$, $R _{2} = R _{1} \times \cos \theta$