대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

외접원 반지름 비

문제

∠ABC=π3\displaystyle \angle \mathrm{ABC} = \frac{\pi}{3}, BC‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 6인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 선분 BC\mathrm{BC} 위에 점 B\mathrm{B}와 점 C\mathrm{C}가 아닌 점 D\mathrm{D}를 잡고, 삼각형 ABD\mathrm{ABD}의 외접원의 반지름의 길이를 r1r _{1}, 삼각형 ACD\mathrm{ACD}의 외접원의 반지름의 길이를 r2r _{2}라 하자. r2r1=133\displaystyle \frac{r _{2}}{r _{1}} = \frac{\sqrt{13}}{3}일 때, 선분 AB\mathrm{AB}의 길이는 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

π3\displaystyle \frac{\pi}{3}

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11

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해설

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 선분의 길이 구하는 문제 해결하기 삼각형 ABD\mathrm{ABD}에서 ∠ADB=θ\angle \mathrm{ADB} = \theta라 하자. 삼각형 ABD\mathrm{ABD}에서 사인법칙에 의하여 AB‾sin⁡θ=2r1\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{\sin \theta} = 2 \mathit{r} _{1} 이고, 삼각형 ADC\mathrm{ADC}에서 사인법칙에 의하여 AC‾sin⁡(π−θ)=AC‾sin⁡θ=2r2\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AC}}}}{\sin \left( \pi - \theta \right)} = \frac{{\overline{\mathrm{AC}}}}{\sin \theta} = 2 \mathit{r} _{2} 이다. r2r1=AC‾AB‾=133\displaystyle \frac{r _{2}}{r _{1}} = \frac{{\overline{\mathrm{AC}}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}} = \frac{\sqrt{13}}{3}이므로 t>0t > 0인 실수 tt에 대하여 AB‾=3t\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3 \mathit{t}, AC‾=13t\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \sqrt{13} \mathit{t}라 하면 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 코사인법칙에 의하여 13t2=9t2+36−2×3t×6×cos⁡π3\displaystyle 13 t ^{2} = 9 t ^{2} + 36 - 2 \times 3 t \times 6 \times \mathrm{\cos} \frac{\pi}{3}, 2t2+9t−18=02 t ^{2} + 9 t - 18 = 0이므로 t=32\displaystyle t = \frac{3}{2} 또는 t=−6t = \mathit{-} 6이다. 따라서 t=32\displaystyle t = \frac{3}{2}이고 AB‾=3t=92\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \mathit{3} t = \frac{9}{2}이므로 p=2p = 2, q=9q = 9이다. 그러므로 p+q=11p + q = 11

태그

#사인법칙#코사인법칙#외접원

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