대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

외접하는 두 원과 외접원

문제

그림과 같이 AB‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 6, AC‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 2, ∠A=π3\displaystyle \angle \mathrm{A} = \frac{\pi}{3}인 △ABC\triangle \mathrm{ABC}의 선분 AB\mathrm{AB}위에 중심이 있는 서로 외접하는 두 원을 각각 O1,O2O _{1} , O _{2}라 하자. 점 A,C\mathrm{A} , C는 원 O1O _{1}위에, 점 B\mathrm{B}는 원 O2O _{2}위에 있다. △ABC\triangle \mathrm{ABC}의 외접원의 반지름의 길이를 RR, 원 O1O _{1}의 반지름의 길이를 r1r _{1}, 원 O2O _{2}의 반지름의 길이를 r2r _{2}라 할 때, 3R2+r12+r223 R ^{2} + r _{1} ^{2} + r _{2} ^{2}의 값은? [4점]

π3\displaystyle \frac{\pi}{3}

①2121②2424③2727④3030⑤3333

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각함수의 법칙을 이용하여 원 문제 해결하기 코사인법칙에 의하여 BC‾2=62+22−2×6×2×cos⁡π3=28\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} ^{2} = 6 ^{2} + 2 ^{2} - 2 \times 6 \times 2 \times \cos \frac{\pi}{3} = 28이므로 BC‾=27\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 2 \sqrt{7} 사인법칙에 의하여 BC‾sin⁡∠A=2R\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin \angle \mathrm{A}} = 2 R 에서 R=2321\displaystyle R = \frac{2}{3} \sqrt{21}. 원 O1O _{1}의 중심을 P\mathrm{P}라 하면 PA‾=PC‾=r1\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PC}} = r _{1} , ∠A=π3\displaystyle \angle \mathrm{A} = \frac{\pi}{3} △PAC\triangle \mathrm{P} AC는 정삼각형이므로 r1=2r _{1} = 2이다. AB‾=2r1+2r2=6\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 r _{1} + 2 r _{2} = 6이므로 r2=1r _{2} = 1이다. ∴3R2+r12+r22=33\therefore 3 R ^{2} + r _{1} ^{2} + r _{2} ^{2} = 33

태그

#사인법칙#코사인법칙#원

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