뉴턴 방법 꼴 함수 극솟값

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 (가)에서 $f ( x ) = x ^{m} \left( x - 2 \right) ^{n}$ (단, $m$, $n$은 자연수) (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{\left( x - 2 \right) ^{3}}{x ^{m} \left( x - 2 \right) ^{n}} = {\begin{cases} 0 _{} ^{} & ( n = 1 , 2 ) _{} ^{} \\ \frac{1}{2 ^{m} _{} {}^{}} & ( n = 3 ) _{} ^{} \\ \text{발산} _{} ^{} & ( n \geq 4 ) _{} ^{} \end{cases}}}$ $\therefore$$n$은 $3$ 이하의 자연수 $f' \left( x \right) = x ^{m - 1} \left( x - 2 \right) ^{n - 1} \left\{ \left( m + n \right) x - 2 m \right\}$이므로 $\displaystyle g \left( x \right) = x - \frac{x ^{m} \left( x - 2 \right) ^{n}}{x ^{m - 1} \left( x - 2 \right) ^{n - 1} \left\{ \left( m + n \right) x - 2 m \right\}}$ ⅰ) $m \geq 2$, $n \geq 2$일 때 함수 $g \left( x \right)$는 $x \ne 0$, $x \ne 2$, $\displaystyle x \ne \frac{2 m}{m + n}$인 모든 실수에서 정의된다. $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{x \left\{ \left( m + n - 1 \right) x - 2 \left( m - 1 \right) \right\}}{\left( m + n \right) x - 2 m}$ $\displaystyle \frac{g \left( x \right)}{x}$$\displaystyle = \frac{\left( m + n - 1 \right) x - 2 \left( m - 1 \right)}{\left( m + n \right) x - 2 m}$$\displaystyle = \frac{\frac{2 n}{\left( m + n \right) ^{2}}}{x - \frac{2 m}{m + n}} + \frac{m + n - 1}{m + n}$ 이고 점근선의 방정식은 $\displaystyle x = \frac{2 m}{m + n}$, $\displaystyle y = \frac{m + n - 1}{m + n}$

$\displaystyle \frac{g \left( x \right)}{x} = 0$에서 $\displaystyle x = \frac{2 \left( m - 1 \right)}{m + n - 1}$ 함수 $\displaystyle \left| \frac{g \left( x \right)}{x} \right|$는 $\displaystyle x = \frac{2 \left( m - 1 \right)}{m + n - 1}$일 때 연속이고 미분가능하지 않다. (다)에서 $\displaystyle \frac{2 \left( m - 1 \right)}{m + n - 1} = \frac{5}{4}$ $\displaystyle m = \frac{5 n + 3}{3}$ $m$은 자연수이고 $n \leq 3$인 자연수이므로 $m = 6$, $n = 3$ ⅱ) $m \ne 1$, $n = 1$일 때 함수 $g \left( x \right)$는 $x \ne 0$, $\displaystyle x \ne \frac{2 m}{m + 1}$인 모든 실수에서 정의된다. $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{x \left\{ mx - 2 \left( m - 1 \right) \right\}}{\left( m + 1 \right) x - 2 m}$ 함수 $\displaystyle \left| \frac{g \left( x \right)}{x} \right|$는 $\displaystyle x = \frac{2 \left( m - 1 \right)}{m}$일 때 연속이고 미분가능하지 않다. $\displaystyle \frac{2 \left( m - 1 \right)}{m} = \frac{5}{4}$ $\therefore$자연수 $m$이 존재하지 않는다. ⅲ) $m = 1$, $n \ne 1$일 때 함수 $g \left( x \right)$는 $x \ne 2$, $\displaystyle x \ne \frac{2}{n + 1}$인 모든 실수에서 정의된다. $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{nx ^{2}}{\left( n + 1 \right) x - 2}$ 함수 $\displaystyle \left| \frac{g \left( x \right)}{x} \right|$는 $\displaystyle x = \frac{5}{4}$에서 미분가능하므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다. ⅳ) $m = n = 1$일 때 $g \left( x \right)$는 $x \ne 1$인 모든 실수에서 정의된다. $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{x ^{2}}{2 x - 2}$ 함수 $\displaystyle \left| \frac{g \left( x \right)}{x} \right|$는 $\displaystyle x = \frac{5}{4}$에서 미분가능하므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다. ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에 의하여 $m = 6$, $n = 3$ $\therefore$$\displaystyle g \left( x \right) = \frac{2 x \left( 4 x - 5 \right)}{3 \left( 3 x - 4 \right)}$ $\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{8 \left( 3 x ^{2} - 8 x + 5 \right)}{3 \left( 3 x - 4 \right) ^{2}}$ $g' \left( x \right) = 0$에서 $x = 1$ 또는 $\displaystyle x = \frac{5}{3}$ 함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

함수 $g \left( x \right)$의 극솟값 $k$는 $\displaystyle \frac{50}{27}$ 따라서 $27 k = 50$