넓이와 모양 조건으로 변의 길이 구하기

헤론의 공식 $\displaystyle S = \sqrt{s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c )}$에서 $\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}$이므로 $16 S ^{2} = ( a + b + c ) ( - a + b + c ) ( a - b + c ) ( a + b - c )$ $a = 3 , b = 5 , c = x$, $S = 6$을 대입하면 $576 = ( 8 + x ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( 8 - x ) = ( 64 - x ^{2} ) ( x ^{2} - 4 )$ $x ^{2} = t$라 하면 $( 64 - t ) ( t - 4 ) = 576$ $t ^{2} - 68 t + 832 = 0$, $( t - 16 ) ( t - 52 ) = 0$ $t = 16$이면 $x = 4$이고 $3 ^{2} + 4 ^{2} = 5 ^{2}$이므로 직각삼각형이다. $t = 52$이면 $\displaystyle x = 2 \sqrt{13}$이고 $3 ^{2} + 5 ^{2} < x ^{2}$이므로 둔각삼각형이다. 따라서 $\displaystyle x = 2 \sqrt{13}$ 답은 ④