넓이의 비와 내분점의 좌표

두 삼각형 $\mathrm{DBC}$와 $\mathrm{ABC}$는 점 $\mathrm{C}$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 내린 높이가 같으므로 넓이의 비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{BA}}$와 같다. 삼각형 $\mathrm{DBC}$의 넓이가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{BA}} = 2 : 3$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DA}} = 2 : 1$ 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{BA}$를 $2 : 1$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle p = \frac{2 \times 2 + 1 \times ( - 1 )}{2 + 1} = 1$, $\displaystyle q = \frac{2 \times 6 + 1 \times 0}{2 + 1} = 4$ 따라서 $p + q = 1 + 4 = 5$ (검산: 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$, 삼각형 $\mathrm{DBC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 = \frac{2}{3} \times 24$이다.)