넓이의 비로 내부의 점 찍기

실마리: 직선 $\mathrm{AP}$가 변 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하면, 넓이의 비가 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PD}}$를 정한다.

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$이므로 세 삼각형 $\mathrm{PBC}$, $\mathrm{PCA}$, $\mathrm{PAB}$의 넓이는 각각 $\displaystyle \frac{9}{2}$, $9$, $\displaystyle \frac{27}{2}$

두 삼각형 $\mathrm{ABD}$와 $\mathrm{ACD}$의 넓이의 비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}}$이고, 두 삼각형 $\mathrm{PBD}$와 $\mathrm{PCD}$의 넓이의 비도 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}}$이다. 그 차인 두 삼각형 $\mathrm{PAB}$와 $\mathrm{PCA}$의 넓이의 비도 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}} = 3 : 2$, $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{3 \times 9 + 2 \times 0}{5} , 0 \right) = \mathrm{D} \left( \frac{27}{5} , 0 \right)$ 두 삼각형 $\mathrm{PBC}$와 $\mathrm{ABC}$는 밑변 $\mathrm{BC}$가 공통이므로 넓이의 비 $1 : 6$은 높이의 비, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}} : \overline{\mathrm{AD}} = 1 : 6$ 그러므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AD}$를 $5 : 1$로 내분하는 점이다. $\displaystyle p = \frac{5 \times \frac{27}{5} + 1 \times 3}{6} = \frac{30}{6} = 5$, $\displaystyle q = \frac{5 \times 0 + 1 \times 6}{6} = 1$ 따라서 $\mathrm{P} ( 5 , 1 )$이고 $p + q = 6$

(검산: 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 높이는 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표 $1$이므로 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 9 \times 1 = \frac{9}{2}$로 전체의 $\displaystyle \frac{1}{6}$이다.)