공통수학2평면좌표AI기본 문제 (3점 중반)

넓이의 비로 내분점 찾기

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 A(1,7)\mathrm{A} ( 1 , 7 ), B(9,3)\mathrm{B} ( 9 , 3 )과 선분 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}가 있다. 삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 넓이와 삼각형 OPB\mathrm{OPB}의 넓이의 비가 3:13 : 1일 때, 점 P\mathrm{P}의 좌표는? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [3점] ①(3,6)( 3 , 6 )②(5,5)( 5 , 5 )③(6,92)\displaystyle \left( 6 , \frac{9}{2} \right)④(7,4)( 7 , 4 )⑤(8,72)\displaystyle \left( 8 , \frac{7}{2} \right)

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④

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해설

두 삼각형 OAP\mathrm{OAP}, OPB\mathrm{OPB}의 밑변을 각각 AP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}, PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}로 보면 높이가 점 O\mathrm{O}와 직선 AB\mathrm{AB} 사이의 거리로 서로 같다. 두 삼각형의 넓이의 비가 3:13 : 1이므로 AP‾:PB‾=3:1\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = 3 : 1 즉, 점 P\mathrm{P}는 선분 AB\mathrm{AB}를 3:13 : 1로 내분하는 점이므로 점 P\mathrm{P}의 xx좌표는 3×9+1×13+1=7\displaystyle \frac{3 \times 9 + 1 \times 1}{3 + 1} = 7 점 P\mathrm{P}의 yy좌표는 3×3+1×73+1=4\displaystyle \frac{3 \times 3 + 1 \times 7}{3 + 1} = 4 따라서 점 P\mathrm{P}의 좌표는 (7,4)( 7 , 4 )이므로 답은 ④이다.

태그

#내분점#삼각형의 넓이#선분의 비

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