넓이를 이등분하는 직선

직선 $\mathrm{PC}$와 선분 $\mathrm{AO}$가 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하고 삼각형 $\mathrm{A} O B$의 넓이를 $S$라 하자. 두 삼각형 $\mathrm{AOP}$, $\mathrm{AQP}$의 넓이가 각각 $\displaystyle \frac{2}{3} S$, $\displaystyle \frac{1}{2} S$이므로 삼각형 $\mathrm{QOP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{6} S$이다. 두 삼각형 $\mathrm{AQP}$와 $\mathrm{QOP}$의 넓이의 비는 선분 $\mathrm{AQ}$와 선분 $\mathrm{QO}$의 길이의 비와 같다. 두 삼각형 $\mathrm{AQP}$와 $\mathrm{QOP}$의 넓이의 비가 $3 : 1$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} : {\overline{\mathrm{QO}}} = 3 : 1$ 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3 \times 0 + 1 \times \left( - 8 \right)}{3 + 1} , \frac{3 \times 0 + 1 \times a}{3 + 1} \right) = \left( - 2 , \frac{a}{4} \right)$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2 \times 7 + 1 \times \left( - 8 \right)}{2 + 1} , \frac{2 \times 3 + 1 \times a}{2 + 1} \right) = \left( 2 , \frac{a + 6}{3} \right)$ 직선 $\mathrm{PC}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{\frac{a + 6}{3}}{2 - \left( - 6 \right)} \left( x + 6 \right) = \frac{a + 6}{24} \left( x + 6 \right)$ 점 $\mathrm{Q}$가 직선 $\mathrm{PC}$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{a}{4} = \frac{a + 6}{24} \times \left( - 2 + 6 \right)$ 따라서 $a = 12$