넓이를 이등분하는 직선

[출제의도] 정적분을 이용하여 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 수 있는가? $x ^{2} - 5 x$$= x$에서 $x ^{2} - 6 x = 0$ $x = 0$ 또는 $x = 6$ 곡선 $y$$= x ^{2} - 5 x$와 직선 $y$$= x$가 만나는 점은 원점과 $\left( 6 , 6 \right)$이다.

곡선 $y = x ^{2} - 5 x$와 직선 $y = x$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{6} {\left\{ x - ( x ^{2} - 5 x ) \right\} dx}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{6} {( 6 x - x ^{2} ) dx}$ $\displaystyle = \left[ 3 x ^{2} - \frac{1}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{6}$ $= 36$ 따라서 직선 $x$$= k$가 넓이를 이등분하므로 $18$$\displaystyle = \int _{0} ^{k} {} \left\{ x - \left( x ^{2} - 5 x \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{k} {} \left( 6 x - x ^{2} \right) dx$ $\displaystyle = \left[ 3 x ^{2} - \frac{1}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{k}$ $\displaystyle = 3 k ^{2} - \frac{1}{3} k ^{3}$ 정리하면 $k ^{3} - 9 k ^{2} + 54$$= 0$ $\left( k - 3 \right) \left( k ^{2} - 6 k - 18 \right)$$= 0$ 즉, $0 < k < 6$이므로 $k$$= 3$