넓이가 같은 점이 3개일 조건

실마리: 밑변 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$가 고정되어 있으므로 넓이는 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리 $h$ 하나로 정해진다. 거리가 $h$인 점이 원 위에 몇 개인지를 세면 된다. 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $3 x + 4 y - 24 = 0$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{6 ^{2} + 8 ^{2}} = 10$이므로 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 10 \times h = 5 h$ 원의 중심 $\mathrm{O}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| - 24 |}{\sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}} = \frac{24}{5}$ 이고 원의 반지름의 길이는 $7$이므로 직선 $\mathrm{AB}$는 원과 두 점에서 만난다. 직선 $\mathrm{AB}$와의 거리가 $h ( h > 0 )$인 점은 직선 $\mathrm{AB}$에 평행하고 거리가 $h$인 두 직선 위에 있다. 중심 $\mathrm{O}$가 있는 쪽의 직선과 원의 중심 사이의 거리는 $\displaystyle \left| h - \frac{24}{5} \right|$이고 이 값은 항상 $7$보다 작으므로 교점은 언제나 $2$개이다. 반대쪽 직선과 원의 중심 사이의 거리는 $\displaystyle h + \frac{24}{5}$이므로 $\displaystyle h + \frac{24}{5} < 7$이면 교점이 $2$개, $\displaystyle h + \frac{24}{5} = 7$이면 $1$개, $\displaystyle h + \frac{24}{5} > 7$이면 $0$개이다. 그러므로 점 $\mathrm{P}$의 개수는 $\displaystyle h < \frac{11}{5}$일 때 $4$개, $\displaystyle h = \frac{11}{5}$일 때 $3$개, $\displaystyle h > \frac{11}{5}$일 때 $2$개이다. 따라서 $\displaystyle h = \frac{11}{5}$일 때만 점이 $3$개이므로 $\displaystyle S = 5 \times \frac{11}{5} = 11$