미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이가 같은 두 영역

문제

함수 f(x)=12x3\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{3}의 그래프 위의 점 P(a,b)\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )에 대하여 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 xx축 및 직선 x=1x = 1로 둘러싸인 부분의 넓이를 S1S _{1}, 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 두 직선 x=1x = 1, y=by = b로 둘러싸인 부분의 넓이를 S2S _{2}라 하자. S1=S2S _{1} = S _{2}일 때, 30a30 a의 값을 구하시오. (\left( \right.단, a>1)a > 1 ) [4점]

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40

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해설

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 b=a32\displaystyle b = \frac{a ^{3}}{2}, S1=S2S _{1} = S _{2}이므로 ∫0112x3dx=∫1a(a32−12x3)dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {\frac{1}{2} x ^{3} dx} = \int _{1} ^{a} {\left( \frac{a ^{3}}{2} - \frac{1}{2} x ^{3} \right) dx} [18x4]10=[a32x−18x4]a1\displaystyle \left[ \frac{1}{8} x ^{4} \right] \begin{matrix} {} ^{\begin{matrix} 1 \\ \end{matrix}} \\ {} _{0} \end{matrix} = \left[ \frac{a ^{3}}{2} x - \frac{1}{8} x ^{4} \right] \begin{matrix} {} ^{\begin{matrix} a \\ \end{matrix}} \\ {} _{1} \end{matrix} a3(3a−4)=0a ^{3} \left( 3 a - 4 \right) = 0, a>1a > 1이므로 a=43\displaystyle a = \frac{4}{3} 따라서 30a=30×43=40\displaystyle 30 a = 30 \times \frac{4}{3} = 40

태그

#넓이#정적분

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