미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이가 같을 조건

문제

두 곡선 y=x3+x2,y=−x2+ky = x ^{3} + x ^{2} , y = \mathit{-} x ^{2} + k와 yy축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 AA, 두 곡선 y=x3+x2,y=−x2+ky = x ^{3} + x ^{2} , y = \mathit{-} x ^{2} + k와 직선 x=2x = 2로 둘러싸인 부분의 넓이를 BB라 하자. A=BA = B일 때, 상수 kk의 값은? (단, 4<k<54 < k < 5) [4점] ①256\displaystyle \frac{25}{6}②133\displaystyle \frac{13}{3}③92\displaystyle \frac{9}{2}④143\displaystyle \frac{14}{3}⑤296\displaystyle \frac{29}{6}

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④

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해설

[출제의도] 정적분과 넓이의 관계를 이해하고 있는가? A=BA = B이므로 ∫02{(x3+x2)−(−x2+k)}dx=0\displaystyle \int _{0} ^{2} {\left\{ \left( x ^{3} + x ^{2} \right) - \left( - x ^{2} + k \right) \right\}} dx = 0 이어야 한다. 이때, ∫02{(x3+x2)−(−x2+k)}dx\displaystyle \int _{0} ^{2} {\left\{ \left( x ^{3} + x ^{2} \right) - \left( - x ^{2} + k \right) \right\}} dx=∫02(x3+2x2−k)dx\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left( x ^{3} + 2 x ^{2} - k \right)} dx =[14x4+23x3−kx]02\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{2}{3} x ^{3} - kx \right] _{0} ^{2}=4+163−2k\displaystyle = 4 + \frac{16}{3} - 2 k=283−2k=0\displaystyle = \frac{28}{3} - 2 k = 0 따라서, 2k=283\displaystyle 2 k = \frac{28}{3} k=143\displaystyle k = \frac{14}{3}

태그

#넓이#정적분

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